高等数学第五章---定积分（§5.4反常积分）

§5.4 反常积分

前面我们学习了定积分 ∫abf(x)dx\int_a^b f(x) d x∫ab​f(x)dx，其中积分区间 [a,b][a, b][a,b] 是有限区间，且被积函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上是连续的（或至多有有限个第一类间断点，或分段连续）。这样的积分我们称之为正常积分 (或常义积分)，正常积分的值是存在的。

这一节我们将正常积分的概念进行推广，主要涉及两种情况：

积分区间的推广：将有限区间 [a,b][a, b][a,b] 推广到无限区间，如 [a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞), (−∞,b](-\infty, b](−∞,b], (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)。这类积分称为无限区间上的反常积分 (或无穷限积分)。

被积函数的推广：被积函数 f(x)f(x)f(x) 在有限区间 [a,b][a, b][a,b] 上无界 (即存在瑕点)。这类积分称为无界函数的反常积分 (或瑕积分)。

无限区间上的反常积分和无界函数的反常积分统称为广义积分或反常积分。

一、无限区间上的积分 (无穷限积分)

(1) 定义

定义 1： 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞) 上连续。如果对于任意 t>at > at>a，定积分 ∫atf(x)dx\int_a^{t} f(x) d x∫at​f(x)dx 存在，并且极限 lim⁡t→+∞∫atf(x)dx \lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^{t} f(x) d x t→+∞lim​∫at​f(x)dx 存在 (即为一个有限值)，则称此极限值为函数 f(x)f(x)f(x) 在无穷区间 [a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞) 上的反常积分，记作 ∫a+∞f(x)dx=lim⁡t→+∞∫atf(x)dx \int_a^{+\infty} f(x) d x = \lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^{t} f(x) d x ∫a+∞​f(x)dx=t→+∞lim​∫at​f(x)dx 此时，称反常积分 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) d x∫a+∞​f(x)dx 收敛。如果上述极限不存在 (或为 ∞\infty∞ 或 −∞-\infty−∞)，则称反常积分 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) d x∫a+∞​f(x)dx 发散。

定义 2： 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 (−∞,b](-\infty, b](−∞,b] 上连续。如果对于任意 t

定义 3： 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 上连续。我们取任意实数 aaa (通常取 a=0a=0a=0)，将积分拆分为两部分： ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x = \int_{-\infty}^a f(x) d x + \int_a^{+\infty} f(x) d x ∫−∞+∞​f(x)dx=∫−∞a​f(x)dx+∫a+∞​f(x)dx 如果右边的两个反常积分 ∫−∞af(x)dx\int_{-\infty}^a f(x) d x∫−∞a​f(x)dx 与 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) d x∫a+∞​f(x)dx 都收敛，则称反常积分 ∫−∞+∞f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x∫−∞+∞​f(x)dx 收敛，其值为这两个收敛积分之和。如果右边的两个反常积分中至少有一个发散，则称反常积分 ∫−∞+∞f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x∫−∞+∞​f(x)dx 发散。

注： 利用上述定义，我们可以判断形如 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) d x∫a+∞​f(x)dx、∫−∞bf(x)dx\int_{-\infty}^b f(x) d x∫−∞b​f(x)dx 和 ∫−∞+∞f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x∫−∞+∞​f(x)dx 的反常积分是否收敛，并在收敛时求出其值。

例 1

判别下列广义积分是否收敛，若收敛，并求其值。

(1)∫0+∞e−xdx(2)∫0+∞xe−x2dx(3)∫−∞011+x2dx(4)∫−∞+∞11+x2dx(5)∫−∞0cos⁡xdx(1) \int_0^{+\infty} e^{-x} d x \quad (2) \int_0^{+\infty} x e^{-x^2} d x \quad (3) \int_{-\infty}^0\frac{1}{1+x^2} d x \quad (4) \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2} d x \quad (5) \int_{-\infty}^0\cos x d x(1)∫0+∞​e−xdx(2)∫0+∞​xe−x2dx(3)∫−∞0​1+x21​dx(4)∫−∞+∞​1+x21​dx(5)∫−∞0​cosxdx

解：

(2) ∫0+∞xe−x2dx=lim⁡t→+∞∫0txe−x2dx=lim⁡t→+∞(−12∫0te−x2d(−x2))(令 u=−x2,du=−2xdx)=lim⁡t→+∞[−12e−x2]∣0t=lim⁡t→+∞(−12e−t2−(−12e0))=lim⁡t→+∞(−12e−t2+12)=−lim⁡t→+∞12et2+12=0+12=12 \begin{align*} \int_0^{+\infty} x e^{-x^2} d x &= \lim_{t\rightarrow+\infty}\int_0^t x e^{-x^2} d x \\ &= \lim_{t\rightarrow+\infty}\left(-\frac{1}{2}\int_0^t e^{-x^2} d(-x^2)\right) \quad \text{(令 } u = -x^2, du = -2x dx \text{)} \\ &= \lim_{t\rightarrow+\infty}\left[-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right]\Big|_0^t \\ &= \lim_{t\rightarrow+\infty}\left(-\frac{1}{2} e^{-t^2} - \left(-\frac{1}{2} e^0\right)\right) \\ &= \lim_{t\rightarrow+\infty}\left(-\frac{1}{2} e^{-t^2}+\frac{1}{2}\right) \\ &= -\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{2 e^{t^2}}+\frac{1}{2} \\ &= 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{align*} ∫0+∞​xe−x2dx​=t→+∞lim​∫0t​xe−x2dx=t→+∞lim​(−21​∫0t​e−x2d(−x2))(令 u=−x2,du=−2xdx)=t→+∞lim​[−21​e−x2]

​0t​=t→+∞lim​(−21​e−t2−(−21​e0))=t→+∞lim​(−21​e−t2+21​)=−t→+∞lim​2et21​+21​=0+21​=21​​ 所以，∫0+∞xe−x2dx\int_0^{+\infty} x e^{-x^2} d x∫0+∞​xe−x2dx 收敛，其值为 12\frac{1}{2}21​。

注：

通过例 1 可以发现：利用定义判别无穷限积分的敛散性，其步骤是：

先将被积函数 f(x)f(x)f(x) 在有限区间上积分，得到一个变限积分（例如 ∫atf(x)dx=F(t)−F(a)\int_a^t f(x)dx = F(t)-F(a)∫at​f(x)dx=F(t)−F(a)）。

然后对这个结果求极限（例如 lim⁡t→+∞(F(t)−F(a))\lim_{t\to+\infty} (F(t)-F(a))limt→+∞​(F(t)−F(a))）。

若反常积分 ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty} f(x) d x∫a+∞​f(x)dx 收敛且 f(x)≥0f(x) \ge 0f(x)≥0，其几何意义可以理解为由曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x)、直线 x=ax=ax=a 以及 xxx 轴所围成的向右无限延伸的平面图形的面积。

对于收敛的无穷限积分，牛顿-莱布尼兹公式在形式上仍然适用，即如果 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x)，则 ∫a+∞f(x)dx=F(x)∣a+∞=lim⁡x→+∞F(x)−F(a) \int_a^{+\infty} f(x) dx = \left.F(x)\right|_a^{+\infty} = \lim_{x\to+\infty} F(x) - F(a) ∫a+∞​f(x)dx=F(x)∣a+∞​=x→+∞lim​F(x)−F(a) ∫−∞bf(x)dx=F(x)∣−∞b=F(b)−lim⁡x→−∞F(x) \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \left.F(x)\right|_{-\infty}^{b} = F(b) - \lim_{x\to-\infty} F(x) ∫−∞b​f(x)dx=F(x)∣−∞b​=F(b)−x→−∞lim​F(x) ∫−∞+∞f(x)dx=F(x)∣−∞+∞=lim⁡x→+∞F(x)−lim⁡x→−∞F(x) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \left.F(x)\right|_{-\infty}^{+\infty} = \lim_{x\to+\infty} F(x) - \lim_{x\to-\infty} F(x) ∫−∞+∞​f(x)dx=F(x)∣−∞+∞​=x→+∞lim​F(x)−x→−∞lim​F(x) (对于第三种情况，需确保两个极限独立存在或通过拆分点计算)。 当遇到不能直接代入 ±∞\pm\infty±∞ 求值的情况时，实质上就是在求极限。

例 2

计算下列广义积分 (如果收敛)。

(1)∫0+∞e−xdx(2)∫0+∞xe−x2dx(3)∫−∞+∞11+x2dx(4)∫e+∞1xln⁡xdx(5)∫1+∞1x+x2dx(1)\int_0^{+\infty} e^{-x} d x\quad(2)\int_0^{+\infty} x e^{-x^2} d x\quad(3)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2} d x\quad(4)\int_e^{+\infty}\frac{1}{x\ln x} d x\quad(5)\int_1^{+\infty}\frac{1}{x+x^2} d x(1)∫0+∞​e−xdx(2)∫0+∞​xe−x2dx(3)∫−∞+∞​1+x21​dx(4)∫e+∞​xlnx1​dx(5)∫1+∞​x+x21​dx

解： (这里我们直接使用牛顿-莱布尼兹公式的推广形式)

(1) ∫0+∞e−xdx=[−e−x]∣0+∞=lim⁡x→+∞(−e−x)−(−e−0)=0−(−1)=1 \int_0^{+\infty} e^{-x} d x = \left[-e^{-x}\right]\Big|_0^{+\infty} = \lim_{x\rightarrow+\infty}(-e^{-x}) - (-e^{-0}) = 0 - (-1) = 1 ∫0+∞​e−xdx=[−e−x]

​0+∞​=x→+∞lim​(−e−x)−(−e−0)=0−(−1)=1

注： 通过上例可以发现：计算无穷限积分时，可以先不显式写出 lim⁡t→∞\lim_{t\to\infty}limt→∞​，而是直接将被积函数的原函数求出来（这与正常定积分的计算方法是一样的，该凑微分凑微分，该换元就换元，该分部就分部），然后利用牛顿-莱布尼兹公式的推广形式，当积分限代入原函数求值时，若遇到“∞\infty∞”符号，则表示对该项求极限。这种方法在书写上比严格按定义计算要简便一些。

例 3 (p-积分)

证明反常积分 ∫1+∞1xpdx\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p} d x∫1+∞​xp1​dx (称为 p-积分)：

当 p>1p>1p>1 时收敛，其值为 1p−1\frac{1}{p-1}p−11​。

当 p≤1p\leq 1p≤1 时发散。

证明： 因为当 p=1p=1p=1 和 p≠1p\neq 1p=1 时，1xp\frac{1}{x^p}xp1​ 的原函数形式不同，所以分情况讨论。

(1) 当 p=1p=1p=1 时： ∫1+∞1xpdx=∫1+∞1xdx=[ln⁡x]∣1+∞=lim⁡x→+∞ln⁡x−ln⁡1=+∞−0=+∞ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p} d x = \int_1^{+\infty}\frac{1}{x} d x = \left[\ln x\right]\Big|_1^{+\infty} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\ln x - \ln 1 = +\infty - 0 = +\infty ∫1+∞​xp1​dx=∫1+∞​x1​dx=[lnx]

​1+∞​=x→+∞lim​lnx−ln1=+∞−0=+∞ 所以当 p=1p=1p=1<